3.5. Деление «уголком»

Деление «уголком» — это, на мой взгляд, самая тяжелая, самая нудная тема во всей школьной математике. Тут нам придется всерьез поднапрячься. Пусть, однако, нас вдохновляет мысль, что весь последующий материал будет значительно легче и приятнее.

КАК ИЗБАВИТЬСЯ ОТ ЖИРА С ПОЛЬЗОЙ ДЛЯ ЗДОРОВЬЯ
9 часов назад
ЭТО КАКОЕ-ТО ЧУДО!У МУЖА ВЫРОС НА 5 СМ ЗА МЕСЯЦ ПОСЛЕ...
8 часов назад

Прежде всего, рассмотрим деление на однозначное число. Допустим, мы хотим вычислить значение выражения

Пользуясь свойствами умножения, мы можем расписать делимое таким образом:

После этого становится очевидно, что частное от деления равно

Но это мы взяли самый что ни на есть простейший случай, когда каждую отдельно взятую цифру делимого можно поделить на делитель. А вот пример несколько посложнее:

Здесь первая цифра оказалась меньше делителя. Поэтому, расписывая делимое, мы не будем отрывать ее от второй цифры:

Поскольку число $15$ не делится нацело на $2$, придется нам прибегнуть к делению с остатком. Представим результат такого деления в виде:

Теперь мы можем продолжать расписывать наше делимое дальше:

Отсюда моментально получаем ответ:

Такого рода расчеты можно проводить в уме и сразу же писать ответ. Но мы сейчас перепишем их в виде краткой таблицы. Умение составлять такие таблицы нам пригодится, когда мы займемся делением на многозначные числа, когда всё окажется не так просто. Делимое и делитель запишем так:

При делении первых двух разрядов ( $15$ ) на двойку получается $7$ плюс еще какой-то остаток. С этим остатком мы разберемся чуть позже, а пока запишем семерку под чертой снизу от делителя (здесь у нас со временем будет выписан полный ответ):

Умножаем на эту семерку наш делитель ( $2$ ) и записываем ответ ( $14$ ) под первыми двумя разрядами делимого ( $15$ ):

Теперь настало время вычислить остаток от деления $15$ на $2$ . Он равен, очевидно,

У нас уже всё подготовлено, чтобы выполнить это вычитание «столбиком»:

У нас получается единица , к которой мы приписываем шестерку из следующего разряда делимого:

В результате такого приписывания у нас получается число $16$ . Мы делим его на наш делитеть ( $2$ ) и получаем $8$ . Эту восьмерку пишем в строке ответа, под чертой снизу от делителя:

Ответ мы получили, однако правила составления таблицы таковы, что нам надо добавить в нее еще две строки. Мы должны формальным образом убедиться, что не потеряли остаток от деления. Умножаем делитель ( $2$ ) на последнюю цифру ответа ( $8$ ), приписываем результат ( $16$ ) снизу к нашей таблице в последние два разряда делимого:

Вычитаем последнюю строку из предпоследней и получаем $0$:

Этот последний ноль есть не что иное, как остаток от деления, который образовался бы в том случае, если бы мы рассматривали деление с остатком:

Чтобы получше это понять, возьмем похожий пример, в котором, однако, остаток не равен нулю:

Таблица для этого примера выглядит так:

Здесь, опять-таки, остаток стоит в последней строке. Для полноты картины распишем наше делимое в таком виде:

Теперь мы готовы к тому, чтобы делить (нацело или с остатком) на многозначные числа. Это делается при помощи подобной же таблицы (именно из-за ее особого вида данная процедура получила название деление «уголком»). Допустим, требуется выполнить деление с остатком:

Приступаем к заполнению таблицы:

СНОГСШИБАТЕЛЬНЫЙ ОБЪЕМ ДЛЯ ТВОИХ РЕСНИЦ
8 часов назад
НИКОГДА ЕЩЕ НЕ ВИДЕЛА СВОЮ КОЖУ ТАКОЙ СИЯЮЩЕЙ, КАК ПОСЛЕ...
9 часов назад

В данном случае, чтобы найти первую цифру частного, надо взять первые четыре цифры делимого ( $1356$ ) и получившееся число поделить (с остатком) на делитель ( $259$ ). Почему надо взять именно первые четыре цифры делимого? Потому что если бы мы взяли хотя бы на одну цифру меньше, то получившееся число ( $135$ ) оказалось бы меньше делителя ( $259$ ), а это не то, что нам надо. Итак, возьмем первые четыре цифры делимого и рассмотрим следующее деление с остатком:

Тут нам помогут приближенные вычисления, для которых, как мы знаем, вовсе необязательно, чтобы числа делились друг на друга нацело:

$1356$ / $259$ $~\approx 1356 / 300 \approx 1500 / 300 = 15 / 3~=~$ $5$ .

Зная результат приближенного деления, мы можем предположить, что, скорее всего,

$1356$ : $259$ = $5$ (остаток — пока неважно какой).

Конечно, абсолютной уверенности у нас нет. Здесь вместо пятерки вполне может стоять четверка или шестерка , однако вряд ли мы ошиблись больше, чем на одну единицу. Имея это в виду, тем не менее берем эту пятерку и заносим ее в нашу таблицу в строку ответа. После этого умножаем на нее делитель ( $259$ ) и при этом записываем ответ под делимым в подходящие разряды:

Здесь «маленькие» цифры — это побочный продукт процедуры умножения: мы познакомились с ними, когда учились умножать «в столбик». После того как умножение выполнено, они становятся больше не нужны: на них можно просто не обращать внимания. Выражение $259$ ∙ $5$ , написанное слева от таблицы, помещено сюда только ради пояснения того, что мы делаем. К таблице оно, собственно, не принадлежит, и в будущем мы такие пояснения выписывать не будем. Тут важно отметить, что результат нашего умножения $1295$ оказался меньше записанного над ним числа $1356$ , составленного из первых четырех цифр делимого. Если бы это было не так, то это означало бы, что приближенное деление дало нам завышенный результат. Нам надо было бы тогда зачеркнуть пятерку в строке ответа, на ее место поставить четверку — после чего зачеркнуть и переделать все наши последующие вычисления. Но нам на этот раз повезло, и ничего переделывать не требуется.

Теперь выполняем вычитание в столбик и получаем:

Внимательно приглядимся к полученной разности ( $61$ ). Очень важно, что она оказалась меньше делителя ( $259$ ). В противном случае мы пришли бы к выводу, что приближенное деление дало нам заниженный результат и нам пришлось бы теперь исправлять в строке ответа пятерку на шестерку , а также переделывать все последующие вычисления. К счастью, этого не случилось. Приближенное вычисление нас не подвело, и мы теперь совершенно точно знаем, что,

$1356$ : $259$ = $5$ (ост. $61$ ).

Возвращаемся к таблице. К нашему остатку ( $61$ ) приписываем семерку из следующего разряда делимого и приступаем к нахождению второй цифры ответа. Это делается с помощью точно такой же процедуры, что и раньше. Потом — очередь за третьей цифрой. В конце концов таблица принимает такой вид:

Можно выписывать окончательный ответ:

$135674 : 259 = 523~(\text.~217)$.

Самая большая неприятность в делении «уголком» состоит в том, что приближенные вычисления, к которым приходится прибегать по ходу дела, не дают сразу гарантированно правильного результата и нуждаются иногда в последующей коррекции. Впрочем, по мере тренировки, у нас выработается особое чутье и мы будем уже сразу почти наверняка знать, какие цифры следует писать в строке ответа, чтобы потом ничего больше не надо было исправлять и переделывать.

Разумеется, нам будут попадаться случаи, когда частное содержит нули. Каждый такой ноль позволит сделать в таблице небольшие сокращения. Вот пример такой таблицы:

Как и в случае умножения «в столбик», для того чтобы было удобнее писать «маленькие» цифры, нам может понадобиться

Теперь остается только тренироваться, тренироваться и тренироваться.

Конспект

Деление «уголком». Рассмотрим пример:

делимое : делитель = частное ( остаток такой-то ).

Наша задача — найти частное и остаток , если известны делимое и делитель . Решаем эту задачу в несколько шагов, на каждом из которых мы находим одну цифру частного .

Шаг первый. Берем в делимом столько цифр спереди, чтобы они составляли число, которое при делении на делитель дает однозначное число и еще какой-то (промежуточный) остаток. Выполнив такое деление, выписываем полученное однозначное число в качестве первой цифры частного , а к промежуточному остатку приписываем в конец первую из оставшихся цифр делимого . В результате такого приписывания мы получаем число, которое мы передаем для дальнейшей «обработки» во второй шаг.

Шаг второй. Число, поступившее для «обработки» из предыдущего шага, делим на делитель . В результате получаем однозначное число и какой-то еще промежуточный остаток. Однозначное число мы записываем в качестве следующей цифры частного , а к промежуточному остатку приписываем в конец первую из оставшихся цифр делимого и передаем получившееся число для дальнейшей «обработки» в следующий шаг.

Описание последующих шагов в точности совпадает с описанием второго шага. Мы останавливаемся, когда в делимом больше не остается цифр для приписывания к очередному промежуточному остатку. К этому времени частное оказывается полностью выписанным, а последний промежуточный остаток и есть окончательный остаток в нашем исходном примере.

КАК УСИЛИТЬ ЯРКОСТЬ ОРГАЗМА ДО 10 РАЗ
7 часов назад
КАК СБРОСИТЬ ОКОВЫ ЛИШНЕГО ВЕСА НАВСЕГДА
6 часов назад

Читайте также